ÍNDICE
Introducción
Uso didáctico de los instrumentos
La tautocronía de las
cuerdas
Teorema del Cateto
La regla parálactica
El nocturlabio-el astrolabio
El reloj de C. Huygens
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EL PAPEL DE
LOS INSTRUMENTOS EN LA ENSEÑANZA DE LA HISTORIA DE LA CIENCIA
Introducción
En 1630 Galileo publica su "Diálogo
sobre los dos máximos sistemas del mundo ptolemaico y copernicano". En la Jornada
Tercera, dice, refiriéndose a la Teoría Heliocéntrica:
" No puedo dejar de admirar la
eminencia de ingenio de quienes la han recibido y aceptado como verdadera.....No puedo
encontrar término a mi admiración , al ver como en Aristarco y en Copérnico haya podido
hacer la razón tanta violencia contra los sentidos, para que, en contra de
éstos, ella se haya hecho dueña de sus credulidades"
En efecto, Aristarco de Samos fue un
astrónomo de la Escuela de Alejandría que en el siglo III a.C. se propuso medir la
distancia entre la Tierra y el Sol . Para ello aprovechó el hecho de que, en los cuartos
lunares, el Sol la Tierra y la Luna se encuentran en los vértices de un triángulo
rectángulo con el ángulo recto en la Luna, tal que el segmento Tierra - Luna es el
cateto menor, y el segmento Tierra - Sol es la hipotenusa. Aristarco midió en esta
posición el ángulo Sol - Tierra - Luna (con vértice en la Tierra), obteniendo un valor
de 87° (este ángulo es en realidad de 89°50'). Luego observó un triángulo rectángulo
tal que uno de sus ángulos agudos mida 87°, semejante al anterior, comprobando que la
hipotenusa es veinte veces mayor que el cateto menor, y , por lo tanto, dado que los
triángulos semejantes tienen sus lados proporcionales, Aristarco concluyó que la
distancia Tierra - Sol es veinte veces mayor que la distancia Tierra - Luna (en realidad
es 370 veces mayor). Observó, además, que los tamaños aparentes del Sol y la Luna son
aproximadamente iguales, con lo que, si el Sol está mucho más lejos que la Luna, debe
ser mucho más grande que ésta, e incluso más grande que la Tierra (la relación entre
los tamaños de la Tierra y la Luna la había obtenido mediante otras consideraciones
astronómicas; posiblemente observando la sombra de la Tierra sobre la Luna durante un
eclipse). En estas condiciones, pensó Aristarco que no era razonable suponer que un Sol
tan grande girase alrededor de la Tierra más pequeña que aquel. Surge así el primer
modelo heliocéntrico del Universo.
En lo anterior podemos distinguir, por una
parte, un cambio en la concepción cosmológica del Universo; por otra parte, se recurre a
las figuras geométricas, la semejanza, las proporciones,... ; pero, ¿qué es lo que hay
en medio?....En medio se encuentra la medida de un ángulo, un solo ángulo, que junto con
la geometría permitió cambiar la Cosmología; y, evidentemente, este ángulo fue medido
con cierto instrumento.
Por lo tanto,una de las posibles formas de
recorrer la Historia de la Ciencia consiste en hacerlo a través del estudio de los instrumentos
científicos. En efecto, podemos considerar la Ciencia como un "organismo"
cuyo funcionamiento va dejando, a lo largo del tiempo, un rastro formado por dos
"productos" fundamentales: los textos escritos y los instrumentos.
Productos éstos bastante apropiados para su "manipulación" y cuyo estudio
puede ser afrontado desde distintos puntos de vista, lo que hace que tengan una alta
aplicabilidad a la didáctica. El siguiente esquema, que, hasta cierto punto, podemos
considerar trivial, pretende hacer un resumen del funcionamiento del "sistema"
científico:
En resumen, este esquema puede ser
interpretado como el funcionamiento de un organismo, la Ciencia, que a lo largo de
la Historia va dejando un reguero de "exquisitos desechos", por medio de los
cuales podremos seguir su "trayectoria vital".
En lo que sigue nos centraremos en uno de
estos productos y sus posibles aplicaciones didácticas: los instrumentos.
En primer lugar queremos destacar que
hablamos de instrumentos en un "sentido amplio", es decir, consideramos
instrumento cualquier artificio capaz de generar algún tipo de conocimiento; así, un
acelerador de partículas es un instrumento, pero un simple poste clavado en el suelo (un
gnomon) o una tabla numérica, por ejemplo, también lo son. De todas formas, teniendo en
cuenta nuestros propósitos didácticos, un aspecto que consideraremos importante es la sencillez;
o mejor aún, la relación entre sencillez y cantidad de conocimientos producidos.
En segundo lugar se observa que los
instrumentos pueden ser considerados como un refinamiento de nuestros sentidos, los cuales
adquieren por medio de aquellos, una mayor capacidad de penetración en la Naturaleza,
aumentando nuestro poder de observación y facilitándonos los procesos de inducción, el
establecimiento de conjeturas, de hipótesis, etc.; y fundamentalmente, la obtención de medidas
de magnitudes que pueden ser representadas en un espacio matemático
abstracto en el que se pueden aplicar los métodos axiomático - deductivos
propios de la Matemática, lo cual nos permite, en muchos casos, comprobar, refutar o
cambiar las afirmaciones establecidas anteriormente. De esta manera el instrumento se
convierte en la llave que cierra (¿abre?) ese eterno círculo de hechos y desechos, de
hacer y deshacer (como Penélope), que llamamos Ciencia.
Ahora bien, ¿cómo podemos materializar
estas consideraciones en el marco de la enseñanza de la Historia de la Ciencia en
Secundaria? Para responder a esta pregunta recurriremos, nuevamente, a las palabras de
Galileo. En la Jornada Primera del libro "Consideraciones y demostraciones
matemáticas sobre dos nuevas ciencias", publicado en 1638, dice Salviati (portavoz
del Académico), dirigiéndose a Sagredo y a Simplicio:
SALV. Pienso que la frecuente actividad en
vuestro famoso arsenal, Señores Venecianos, ofrece un gran campo para filosofar a
los intelectos que especulan, especialmente, en aquella parte que se denomina mecánica,
en donde se construyen continuamente todo tipo de instrumentos y de máquinas por
gran número de artesanos, algunos de los cuales han de ser muy entendidos y con un
talento muy agudizado debido tanto a las observaciones que sus predecesores han hecho como
a lo que van descubriendo ellos mismos sin interrupción.
El significado de este texto puede ser
interpretado como el reconocimiento, por parte de Galileo, de que la actividad científica
que surge en el Renacimiento está relacionada con el abandono de los prejuicios elitistas
griegos en contra de las artes prácticas, así como al aumento del interés por los
problemas mecánicos relacionados con la producción artesanal, lo que hace surgir
teorías científicas a partir de los descubrimientos empíricos acumulados por la
tradición de los talleres artesanos. Del mismo modo, si queremos que nuestros alumnos de
Secundaria adquieran conocimientos de Historia de la Ciencia de una forma significativa,
también nosotros debemos abandonar nuestros "prejuicios elitistas griegos"
(y académicos podríamos añadir) e intentar emular a los artesanos, construyendo, aunque
sea en versión simplificada, algún instrumento del que podamos obtener conocimientos empíricos.
Por lo tanto, proponemos intentar construir
el conocimiento científico de los alumnos recorriendo ese rastro de instrumentos dejados
por la ciencia a lo largo de la historia, deteniéndonos especialmente en algunos puntos
seleccionados; es decir, deteniéndonos en algunos instrumentos cuya relación entre
sencillez y cantidad de conocimientos producidos, mencionada anteriormente, sea
satisfactoria; y, además, distribuidos a lo largo del periodo histórico a estudiar. Cada
uno de estos instrumentos seleccionados será la conexión epistemológica entre
una determinada cuestión práctica, inserta en una época determinada y con todos los
condicionantes políticos, económicos, religiosos, cosmológicos etc. que le son
inherentes por una parte y; por otra, algún tipo de conocimiento teórico como son la
Geometría, la Mecánica, la Química, etc. De esta manera el instrumento se convierte en
el núcleo alrededor del cual se concentra la actividad didáctica, la cual podrá ser
afrontada desde distintas disciplinas, es decir, de una forma interdisciplinar y
dirigida a una diversidad de alumnos, ya que entran en juego distintas actividades
adaptables a diversas capacidades intelectuales: uso, construcción, diseño, explicación
del funcionamiento, fundamentos teóricos etc. Esto último lo podemos resumir en el
siguiente esquema:
A continuación se exponen algunos
ejemplos del uso didáctico de instrumentos con el fin de aclarar lo anteriormente
expuesto.
2. ALGUNAS FORMAS DE ENTENDER EL USO DIDÁCTICO DE LOS
INSTRUMENTOS:
En su aplicación didáctica los
instrumentos pueden ser considerados desde muchos puntos de vista. A continuación se
exponen algunos ejemplos sobre diversas formas de entender su uso en el aula que
consideramos especialmente interesantes.
Un instrumento puede ser considerado como:
1. Un generador de nuevos conocimientos
sobre el comportamiento de la Naturaleza con los que podemos resolver problemas.
Supongamos que estamos estudiando la
Ciencia del siglo XVII. Uno de los temas más significativo de esta época es el estudio
del movimiento de los cuerpos. En efecto, durante los siglos XVI y XVII se cuestionan las
concepciones aristotélicas sobre el movimiento y surgen nuevas ideas al respecto, como
por ejemplo la cristalización de la Ley de la Inercia; lo que conduce a nuevos
planteamientos, que junto con la irrupción de la Matemática como lenguaje de la
Naturaleza, sienta las bases de la Ciencia Moderna. Todo esto lo podemos encontrar, entre
otros, en la obra de Galileo, quien en la tercera jornada de su libro, citado
anteriormente, "Consideraciones y demostraciones matemáticas sobre dos nuevas
ciencias", establece definiciones de movimiento uniforme y uniformemente acelerado
que corresponden a la esencia de estos dos tipos de movimiento. Esta correspondencia, dice
Galileo, "...creemos haberla logrado al fin, después de largas reflexiones,
especialmente si tenemos en cuenta que las propiedades que hemos ido demostrando
sucesivamente [a partir de nuestra definición] parece que corresponden y coinciden
exactamente con lo que los experimentos naturales nos ponen delante de nuestros sentidos.
En suma, el estudio del movimiento naturalmente acelerado nos ha llevado, como agarrados
de la mano, la observación de las costumbres y reglas que sigue la misma naturaleza en
todas sus obras restantes, para cuya ejecución suele hacer uso de los medios más
inmediatos, más simples y fáciles...."
Pues bien, en este contexto situamos el
siguiente ejemplo, cuya finalidad es ilustrar el uso de los INSTRUMENTOS CIENTÍFICOS en
la construcción del conocimiento y en la resolución de problemas, desde el punto de
vista de la Historia de la Ciencia.
EL PROBLEMA
Si desde los puntos P1, P2
y P3 se deja caer un cuerpo hasta el punto A, siguiendo planos inclinados
¿cuál de los tres recorridos se hará en menos tiempo?
Para resolver este problema
necesitamos algún método para medir o comparar los tiempos que tarda un cuerpo en caer a
lo largo de cada uno de los planos inclinados; lo cual, en la época que nos hemos
situado, representa un problema técnico complicado, teniendo en cuenta que aún no está
muy desarrollada la construcción de relojes precisos.
EL INSTRUMENTO
Consideremos una circunferencia situada en
un plano vertical en la que se han construido varios (en este caso dos) planos inclinados
formando cuerdas que confluyen en el punto más bajo de un diámetro vertical, pero con
distinta inclinación, y por los que se pueden dejar caer simultáneamente dos objetos
iguales; como por ejemplo, dos bolas de cristal (para evitar, en la medida de los posible,
el rozamiento). En la siguiente figura se presenta un esquema del instrumento:
Con este instrumento podemos comprobar
"empíricamente" que los tiempos de caída a lo largo de todas las
cuerdas consideradas son iguales, es decir, este instrumento PRODUCE nuevos conocimientos:
"Los tiempos de caída a lo largo de las cuerdas que confluyen en el punto más
bajo de un diámetro vertical son todos iguales"; o dicho de otro modo, dichas
cuerdas son TAUTÓCRONAS (del griego: el mismo tiempo).
LOS CONOCIMIENTOS
TEÓRICOS ASOCIADOS
Pero, como hemos señalado en el esquema,
cada instrumento tiene asociados unos fundamentos teóricos de tipo mecánico,
geométrico, aritmético, etc.; acumulados a lo largo de la historia, hasta la época en
la que nos situamos. En el caso de nuestro instrumento, podemos PROBAR la propiedad
obtenida empíricamente usando los Teoremas II y III sobre el movimiento naturalmente
acelerado incluidos de la Tercera Jornada del "Consideraciones y Demostraciones Sobre
Dos Nuevas Ciencias" de Galileo y el "Teorema del Cateto", que podemos
encontrar enunciado y demostrado en los "Elementos" de Euclides:
TEOREMA II: Si un móvil cae, partiendo del
reposo, con un movimiento uniformemente acelerado, los espacios por él recorridos en
cualquier tiempo que sea están entre sí como los cuadrados de los tiempos.
TEOREMA III: Si uno y el mismo móvil se
mueve, partiendo del reposo, sobre un plano inclinado y a lo largo de uno vertical,
teniendo ambos la misma altura, los tiempos de los movimientos estarán entre sí como las
longitudes del plano y de la vertical.
TEOREMA DEL CATETO: El cateto es media proporcional entre la
hipotenusa y su proyección sobre ella
Usando los anteriores resultados, podemos
realizar la siguiente demostración:
Para terminar, usaremos los conocimientos
adquiridos por medio del instrumento estudiado para resolver el problema que nos habíamos
planteado:
LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
Si tenemos en cuenta el resultado teórico
obtenido por medio del instrumento, observamos que los tiempos que tarda del móvil en
caer desde los puntos Q, P2 y R hasta A son iguales, por lo tanto el tiempo de
P2 a A es el menor, dado que en los otros planos inclinados el móvil ha de
recorrer cierto espacio suplementario ( el que está por fuera de la circunferencia), por
lo que los tiempos serán mayores. La siguiente figura muestra la situación:
2. Un recurso
didáctico.
Es decir, un objeto alrededor del cual se
puede organizar diversas actividades orientadas a diversos tipos de alumnos.
Alrededor de un instrumento se pueden diseñar actividades que van desde lo artesanal
(uso de herramientas para su construcción) hasta la formalización más abstracta
propia de la geometría que explica su funcionamiento, pasando por actividades empíricas
(uso del instrumento para hacer observaciones y obtener información). De esta manera
podemos intentar dar solución a uno de los grandes problemas planteado por las nuevas
legislaciones educativas, las cuales tienden a asegurar el acceso a la educación de toda
la población, independientemente de sus condiciones sociales, económicas, culturales,
etc., lo que significa, por una parte, un avance en cuanto a la justicia social, pero, por
otra, hace que los profesores se encuentren dentro de clase con unos alumnos que quieren
acceder a los estudios universitarios, junto a otros que no saben lo que quiere ser, y
otros más que no quieren estar dentro de clase; sin embargo, hay que ofertar algo a cada
uno de ellos. Pues bien, podríamos comenzar por proponer a los alumnos que no quieren
estar en clase la construcción de un instrumento como el de la siguiente figura (llamado REGLA PARÁLACTICA):
Una vez construido, es muy posible que
consigamos convencer a alguno de los alumnos que no tiene muy claro su futuro para que
intente utilizar este instrumento para medir ángulos, después de que los que están
interesados en alcanzar cierto nivel de conocimientos hayan investigado las relaciones
geométricas necesarias para poder asociar a cada ángulo una longitud sobre la regla. De
esta manera, la construcción del conocimiento recorre un camino que va desde la
utilización de las manos (la artesanía) hasta ciertos niveles de abstracción, pasando
por la adquisición de datos sobre lo que nos rodea usando instrumentos (el conocimiento
empírico).
3. Un almacén de conocimientos, o
lo que es lo mismo, un libro en el que está escrita la historia de la Ciencia.
Estudiar la Ciencia significa estudiar su historia, su génesis; y para ello hay que leer
en estos libros por lo que debemos conocer el lenguaje en el que están escritos: LA
GEOMETRÍA.
Un buen ejemplo para ilustrar esto último
puede ser:
EL ASTROLABIO
Es muy posible que la astronomía surgiera cuando alguien combinó la
observación del cielo con la memoria. Si observamos el cielo una noche despejada
veremos una infinidad de estrellas. Si lo observamos al cabo de un rato veremos que los
astros han cambiado de posición, es decir, comprobamos que en el cielo hay movimiento.
Repitiendo la observación y memorizando las posiciones anteriores de los distintos astros
surge la idea de trayectoria: surge la geometría del cosmos, que más tarde
se transformaría en Geometría simplemente.
Pero algo que se mueve espontáneamente no es perfecto, dado que
si se mueve significa que no ocupa el lugar que le corresponde en un cosmos ordenado.
¿Quiere esto decir que el cosmos no es perfecto?. Para responder a esta pregunta
observemos y memoricemos, es decir, hagamos geometría.
De esta manera surge una trayectoria que condicionará para siempre la
geometría del cosmos: la circunferencia (¿la rueda?). En cualquier otra figura
geométrica, si la hacemos girar cierto ángulo, sus puntos abandonarán la figura
inicial; sin embargo, si hacemos girar una circunferencia alrededor de su centro, sus
puntos siempre permanecerán dentro de la misma, es decir, es inmutable, o, dicho
de otro modo, es cerrada con respecto al movimiento de rotación alrededor de su
centro. En consecuencia, el único movimiento natural posible en un cosmos ordenado e
inmutable es el que sigue una trayectoria circular, lo que hizo que el círculo y su
extensión al espacio tridimensional, la esfera, se instauraran como las figuras
geométricas básicas para la construcción de modelos explicativos del cosmos.
Surgen así las teorías de la antigüedad que van desde Eudoxo de
Cnido (siglo IV a.C.), creador del primer modelo conocido que usaba esferas concéntricas
para la explicación del movimiento de los astros, hasta Ptolomeo (siglo II d.C.), el cual
fue capaz de proyectar la esfera celeste sobre un círculo lo que permitió la
construcción instrumentos cuya geometría circular reproduce el
"funcionamiento" del cosmos: el astrolabio, el nocturlabio, etc.
Estas teorías desarrolladas en el mundo helénico, junto con las
aportaciones de las culturas orientales, así como las técnicas de construcción de
instrumentos, fueron asimiladas y perfeccionadas por los árabes y difundidas en la Europa
occidental durante la Edad Media.
Por último, podemos observar que las distintas "señales"
que aparecen sobre los círculos que constituyen un astrolabio son las "huellas"
dejadas por las aportaciones hechas a la astronomía a lo largo de los siglos, de manera
que entender su significado (entender su funcionamiento) significa entender la historia de
la astronomía, o lo que es lo mismo, entender la génesis del conocimiento astronómico.
Y es evidente que esas señales están escritas en lenguaje geométrico sobre libros
circulares que llamamos astrolabio, nocturlabio,.....
4. La conexión entre un problema
práctico o teórico planteado en la sociedad en una época
determinada bajo unas condiciones económicas, políticas, culturales, religiosas, etc. ;
y una teoría científica, matemática, etc. más o menos abstracta. El estudio de
este aspecto de los instrumentos nos permite efectuar planteamientos de tipo interdisciplinar
en los que entran en juego materias relacionadas con todas las ramas del conocimiento.
EL RELOJ DE C. HUYGENS
Uno de los problemas fundamentales con que se enfrentó la navegación
durante la Edad Moderna fue el de la determinación exacta de la posición de los navíos
en el mar. En el siglo XVI el problema de la determinación de la latitud estaba ya bien
resuelto mediante la observación de la altura aparente de los astros en los diversos
puntos del globo terrestre, no ocurría lo mismo con el de la longitud. La importancia de
este problema era tal, dadas su implicaciones económicas, políticas, geográficas etc.,
que se convirtió durante tres siglos en objeto permanente de investigación y en un
verdadero reto para la ciencia de la época.
Desde el siglo XVI las monarquías europeas estuvieron interesadas en
la solución de este problema y convocaron concursos internacionales, dotados de
cuantiosos premios, para su resolución definitiva; además, se crearon juntas oficiales
para discutir los métodos disponibles.
Los primeros intentos de solución surgieron de la Astronomía. En
efecto, la observación de sucesos astronómicos cuando se hacía simultáneamente en
lugares diversos permitía establecer fácilmente la posición. De este modo surgieron los
métodos basados en la observación de los eclipses de Sol y de Luna, el de los satélites
de Júpiter y , especialmente, el de las distancias lunares.
El escaso fruto de estos métodos, junto con las dificultades de
cálculo para la elaboración de tablas, hizo que se dirigiera la atención hacia el uso
de relojes que permitieran comparar la hora del puerto de origen con la del barco,
deduciendo así la diferencia de longitud.
Uno de los intentos de solución se debe a Christian Huyghens, quien en
el libro "HOROLOGIUM OSCILLATORIUM", publicado en 1673, describe, entre otras
cosas, la construcción de un reloj de péndulo basado en las propiedades de la curva
cicloide que funcionase en un barco, independientemente del movimiento de éste debido a
las olas. Resulta ser una propuesta de gran "belleza geométrica" debido a lo
sorprendente de las propiedades de dicha curva.
Los conocimientos teóricos asociados con estos instrumentos son
fundamentalmente sus propiedades mecánicas, la BRAQUISTOCRONÍA y la TAUTOCRONÍA, y sus
propiedades geométricas; que podemos encontrar en la obra de Huyghens ya citada:
"Horologium Oscillatorium". Dichas propiedades pueden ser comprobadas
empíricamente con los instrumentos mencionados en el apartado anterior y DEMOSTRADAS
usando la Geometría Euclídea y los resultados sobre el movimiento de caída de graves
obtenidos por Galileo.
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