DOCUMENTOS DE HISTORIA DE LA CIENCIA
Anne Boyé
Les Instituts de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques. Nantes

Quelques éléments d’histoire des nombres négatifs

I Utilisation des nombres négatifs en mathématiques

II Obstacles à la compréhension des nombres négatifs

II Problème particulier de la règle des signes pour le produit

Conclusion en forme de réflexion pédagogique

Et nous espérons que la réflexion alimentera la réflexion…

Quelques éléments d’histoire des nombres négatifs

Ces idées sont très élémentaires ; néanmoins, il n'est pas si aisé qu'il pourrait le paraître d'abord de les établir d'une manière bien lumineuse, et d'y donner cette généralité que demande leur application aux calculs. On ne peut d'ailleurs douter de la difficulté du sujet , si l'on réfléchit que les sciences exactes avaient été cultivées pendant un grand nombre de siècles, et qu'elles avaient fait de grands progrès avant qu'on eût acquis les véritables notions des quantités négatives, et qu'on eût conçu la manière générale de les employer.

Argand, Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques, 1806.

L’introduction conceptuelle des nombres négatifs a été un processus d’une lenteur surprenante.

Il ne peut y avoir bien sûr de nombre négatif sans la présence d’un zéro ; cependant, en Europe, les mathématiciens disposent du zéro depuis le XIV° siècle, et il faudra attendre la fin du XV° siècle pour voir apparaître des êtres numériques non positifs, qui ne seront pas pour autant acceptés comme nombres à part entière. Très rapidement les règles d’utilisation seront établies, et les mathématiciens manipuleront les nombres relatifs, mais ils en auront une compréhension très partielle, avec d’étonnantes lacunes. On leur dénie l’existence en tant que quantités réelles. Ils seront longtemps un outil de calcul, facilitant la résolution des équations, pour lesquelles par ailleurs on ne retiendra que les solutions positives.

Plusieurs obstacles peuvent expliquer cette difficulté de reconnaissance :

un des obstacles le plus évident sera le zéro absolu, en dessous duquel il n’y a rien.

Cette difficulté est particulièrement pointée, par exemple par le mathématicien français Lazare Carnot (1753-1823), membre de l’académie des sciences et mathématicien renommé :

« Pour obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible. Comment donc concevoir une quantité négative isolée ? »

Géométrie de position, 1803.

Un auteur de manuel de mathématiques, du XIX° siècle, (F. Busset) ira jusqu’à faire porter l’échec de l’enseignement des mathématiques en France sur l’admission des quantités négatives. Il est choqué que l’on discute de savoir s’il existe « des quantités plus petites que rien ». C’est pour lui « le comble de l’aberration de la raison humaine ».

Il existe une sorte d’empêchement de manier le zéro origine, à côté du zéro absolu.

Dans les textes précédents, il a pu être noté que l’on ne parle pas de nombres négatifs, mais de quantités. Les nombres ne peuvent être que positifs ; ce sont les quantités qui peuvent être négatives ou positives. Une quantité négative se définit par une opposition à une quantité positive : un chemin dans une direction, un chemin dans la direction contraire ; un gain, une dette ...

Nous proposons d’étudier ici la lente naissance des quantités négatives, et les obstacles qu’il a fallu franchir pour atteindre la notion abstraite de nombre négatif.

I Utilisation des nombres négatifs en mathématiques :

Il est courant d’estimer que la notion de nombre négatif est née de besoins comptables (gains et dettes).

Les chinois semblent avoir utilisé depuis le premier siècle de notre ère les « nombres négatifs ». Sur les tables à calcul, le plus souvent, des baguettes noires les représentent ; des baguettes rouges représentent les positifs. Cependant ils n’apparaissent que comme des auxiliaires de calcul, il n’y a pas de nombre négatif dans les énoncés de problèmes, il n’y en pas non plus dans les réponses.

Ils apparaissent aussi chez les mathématiciens indiens (Hindous) des VI° et VII° siècle ; par exemple nous les trouvons dans les écrits de Bramagupta (VII° siècle). Il y enseigne la façon de faire des additions, des soustractions, etc... sur les biens, les dettes, le néant.

« Une dette retranchée du néant devient un bien, un bien retranché du néant devient une dette. »

Les règles de calcul sont données; mais on ne se préoccupe pas de les justifier.

Les « nombres négatifs » vont ainsi apparaître dans les calculs, et les mathématiciens tout au long de l’histoire vont s’enhardir à pratiquer de mieux en mieux des opérations sur ces « nombres », lors même que les règles ne sont pas clairement établies.

En occident ils apparaissent donc à la fin du XV° siècle, lors de la résolution des équations, par exemple dans les écrits du mathématicien italien Cardan (1501-1576).

Cardan est encore le premier qui ait aperçu la multiplicité des valeurs de l'inconnue dans les équations, et leur distinction en positives et négatives. Cette découverte qui, avec une autre de Viète, est le fondement de toutes celles d'Harriot et Descartes sur l'analyse des équations, cette découverte, dis je, est clairement contenue dans son Ars magna. Dès l'article troisième il observe que la racine d'un carré est également plus ou moins le côté de ce carré, et dans l'article 7 il propose une équation qui, réduite à notre langage, serait x² + 4x = 21, et il remarque que la valeur de x est également + 3 ou - 7, et qu'en changeant le signe du second terme, elle devient - 3 ou + 7. Ces racines négatives, il les nomme feintes. Cardan redressera en cela l'erreur de Pacioli, qui n'ayant fait aucune mention de ces racines négatives, semble ne les avoir pas remarqué.

J. F. Montucla, Histoire des mathématiques, 1758.

Cependant à la même époque, d’autres mathématiciens, comme le français Viète (1540-1603), ne donneront que les solutions positives des équations.

Les règles de calcul sont construites en prolongement des règles sur les positifs, et, tout au long de l’histoire, les mathématiciens pratiqueront de mieux en mieux ces calculs, mais avec une certaine gêne, car il s’agit en fait le plus souvent de règles de calcul concernant des quantités ou des grandeurs que l’on ajoute ou retranche, et non de nombres positifs ou négatifs.

Cardan exprime ainsi ses doutes :

« C’est un simple conseil de ne pas confondre les quantités défaillantes avec les quantités abondantes. Il faut ajouter entre elles les quantités abondantes, ajouter entre elles aussi les quantités défaillantes, et retrancher les quantités défaillantes des quantités abondantes, mais en tenant compte des espèces, c’est à dire n’opérer que sur des semblables ; combiner les nombres entre eux, aussi les carrés, de même les cubes, etc... »

Ars Magna, 1545.

On imagine un peu un livre de comptes dans lequel on écrit dans une colonne les dépenses, dans l’autre les recettes, en veillant surtout à ne pas les mélanger.

Clairaut (1713-1765),aussi, sur ce sujet, donnent ses règles, dans ses « Eléments d’algèbre » de 1746 :

« On demandera peut-être si on peut ajouter du négatif avec du positif, ou plutôt si on peut dire qu’on ajoute du négatif. A quoi je réponds que cette expression est exacte quand on ne confond point ajouter avec augmenter. Que deux personnes par exemple joignent leurs fortunes, quelles qu’elles soient, je dirai que c’est là ajouter leurs biens, que l’un ait des dettes et des effets réels, si les dettes surpassent les effets, il ne possédera que du négatif, et la jonction de la fortune à celle du premier diminuera le bien de celui-ci, en sorte que la somme se trouvera, ou moindre que ce que possédait le premier, ou même entièrement négative. »

Ceci met en relief la confusion entre le signe de l’opération et le signe du nombre, et la différenciation entre ajouter et augmenter, difficulté qui sont réelles, dès que l’on commence à enseigner le négatif. La distinction ne sera vraiment faite qu’à la fin du XIX° siècle, mais le problème pédagogique persistera.

A partir de l’époque de Viète, au début du XVII° siècle, les règles sur le calcul littéral seront parfaitement maîtrisées, mais les lettres représentent toujours des quantités positives et jamais des négatives. On ne peut donc trouver, comme solution d’une équation par exemple x = - 3 ; ce serait absurde.

II Obstacles à la compréhension des nombres négatifs :

Nous avons déjà évoqué le problème du zéro absolu et du zéro relatif.

Il y a par exemple dans le « Dictionnaire de mathématiques » de J. Ozanam, de 1691, une vingtaine de sortes de nombres , les entiers, les rompus(fractionnaires), les incommensurables, les sourds, ..., et les négatifs ne sont pas mentionnés. Ils apparaissent dans les résolutions d’équations, mais ils sont alors qualifiés de racines fausses, feintes, à côté des vraies, qui sont les positives. La racine fausse est la valeur niée de la lettre inconnue de l’équation.

Voici comment Descartes présente les différentes solutions d’une équation :

Mais souvent il arrive, que quelques unes de ces racines sont fausses, ou moindres que rien, comme si on suppose que x désigne aussi le défaut d'une quantité, qui soit 5, on a x + 5 µ 0, qui étant multipliée par , pour une équation en laquelle il y a quatre racines, à savoir trois vraies qui sont 2,3,4, et une fausse qui est 5.

Descartes, La géométrie, 1637

Nous remarquerons que dans ce texte, Descartes parle d’une racine fausse qui est 5.

Les solutions négatives des équations posent des problèmes aux mathématiciens, car il faut les interpréter.

Voici un exemple ce que propose De Morgan (1806-1871), en 1831, devant des solutions négatives d’un problème :

« L’expression imaginaire et l’expression négative - b se ressemblent en cela que chacune d’elles, lorsqu’elle apparaît comme solution d’un problème, indique qu’il y a là quelque inconsistance ou absurdité . Pour ce qui concerne la réalité de leur signification, toutes deux sont également imaginaires puisque 0 - a est tout aussi inconcevable que .

Un exemple : Un père a 56 ans et son petit fils en a 29. dans combien d’années l’âge du père sera-t-il le double de celui de son fils ?

Soit x le nombre d’années ; x vérifie : 56 + x = 2 (29 + x). Nous trouvons x = - 2.

Ce résultat est absurde mais si nous changeons x en - x et si nous résolvons : 56 - x= 2 (29 - x) nous trouvons x = 2. La réponse négative montre que nous avons commis une erreur dans la première formulation de l’équation. Lorsque la réponse à un problème est négative, en changeant le signe de x dans l’équation qui a produit ce résultat, nous pouvons découvrir qu’une erreur a été commise dans la méthode utilisée pour former cette équation ou montrer que la question posée par le problème est trop limitée. »

On admet les quantités négatives dans les calculs, comme auxiliaires obligatoires, bien qu’elles n’aient aucun sens par elles-mêmes. C’est exactement la même position que celle des imaginaires (que nous nommons de nos jours les nombres complexes). Le malaise se manifeste particulièrement dans les écrits à caractère pédagogique, car les auteurs n’arrivent pas à donner d’explications satisfaisantes.

Remarquons que jusqu’au XVIII° siècle il y a peu d’occasion de manipuler des « nombres » négatifs qui ont un sens physique. En 1730, Réaumur réalise le premier thermomètre scientifique et il faudra encore un siècle pour que le grand public s’habitue à des températures en dessous de zéro. En 1713, Farenheit s’arrange pour que ces sortes de températures soient évitées.

Certains, malgré tout, gardent des sentiments très prudents, voire hostiles devant l’usage des quantités négatives, qui ne sont définitivement pas des nombres.

Voici comment l’exprime Mac Laurin (1698-1746), dans son Traité des fluxions, en 1742 :

« L’usage du signe négatif en algèbre donne lieu à plusieurs conséquences qu’on a d’abord peine à admettre et ont donné l’occasion à des idées qui paraissent n’avoir aucun fondement réel. »

Voici quelques unes de ces idées :

Pascal (1623-1662), dans ses pensées : « Trop de vérité nous étonne ; j’en sais qui ne peuvent comprendre que, qui de zéro ôte 4, reste zéro. »

Arnauld (un ami de Pascal) : (à propos de l’égalité ) « Comment un nombre plus petit pourrait-il être à un plus grand comme un plus grand à un plus petit ? »

Wallis (1616-1703) : « a étant un nombre positif, le quotient est infini ; comme est plus grand, le dénominateur étant plus petit, il est plus grand que l’infini tout en étant inférieur à zéro, car le résultat est négatif. »

Et voici une réaction franchement hostile, de Francis Maseres, mathématicien anglais, dans sa Dissertation sur l’utilisation du signe négatif en algèbre (1759): « Elles servent seulement pour autant que je sois capable d’en juger, à obscurcir la doctrine toute entière des équations et à rendre ténébreuses des choses qui sont dans leur nature excessivement évidentes et simples. Il eût été souhaitable en conséquence que les racines négatives n’aient jamais été admises dans l’algèbre ou qu’elles en aient été écartées. »

Devant de tels obstacles, se font jour alors des stratégies d’évitement :

* Dans l’écriture des équations : par exemple, il y aura plusieurs types d’équations du second degré, que nous pouvons citer avec notre écriture algébrique contemporaine :

x² + px = q

x² + q = px

x² = px + q

(x² = px n’est pas vraiment du second degré) ; le zéro ( 0), comme solution, mettra très longtemps à être accepté puisqu’il signifie « rien ».

p et q représentent des nombres, donc ils sont par essence positifs.

* Pour le choix d’axes pour repérer les points : soit on ne tient pas compte de la partie de courbe correspondant à des x ou des y négatifs (ex la courbe qui porte le nom de Folium de Descartes, ainsi nommée car elle représente la cubique d’équation x³ + y³ = 3axy, avec x et y positifs), (voir le dessin) soit on s’arrange pour choisir des axes pour lesquels la courbe considérée ne correspond qu’à des coordonnées positives. Il faudra attendre le 18° siècle, pour que Mac Laurin, et surtout Euler, expliquent comment l’on peut prendre des coordonnées négatives ; il s’agit d’une approche timide de ce qui sera appelé « la droite des réels ».

* Pour ne pas avoir à accepter une solution négative pour un problème, presque jusqu’au 20° s, si la résolution d’une équation aboutit à une solution négative, on conseille de réécrire le problème ainsi que nous l’avons vu dans le texte de De Morgan..

II Problème particulier de la règle des signes pour le produit:

Voici ce qu'écrivait l'écrivain français Stendhal, dans son roman autobiographique : La vie d'Henri Brulard", en 1835, pour exprimer son désarroi face à la règle des signes :

Mon grand malheur était cette figure :

Supposons que RP soit la ligne qui sépare le positif du négatif, tout ce qui est au-dessus est positif, comme négatif tout ce qui est au-dessous ; comment, en prenant le carré B autant de fois qu'il y a d'unités dans le carré A, puis-je parvenir à faire changer de côté au carré C ?

Et, en suivant une comparaison gauche que l'accent souverainement traînard et grenoblois de M. Chabert rendait encore plus gauche, supposons que les quantités négatives sont les dettes d'un homme, comment en multipliant 10 000 francs de dette par 500 francs, cet homme aura-t-il ou parviendra-t-il à avoir une fortune de 5 000 000, cinq millions de francs ?

Il y a une sorte de nécessité à accepter que négatif x négatif = positif, si l’on veut que l’ensemble des calculs sur tous les nombres soit cohérent.. En fait, il s’agit, ainsi que nous l’avons remarqué, plus d’une opération sur les signes que sur les nombres, puisqu’un « nombre » négatif, est un nombre positif précédé du signe moins. Quoiqu’il en soit, cette nécessité, manipulée formellement sans problème heurte le bon sens, même si quelques mathématiciens, parmi les plus grands, essaient de donner des justifications, souvent bancales. Jusqu’à un certain point, le problème de la justification n’est peut-être pas majeur, dans la mesure où tout marche bien, où l’on n’aboutit pas à des contradictions. Il faut arriver à un certain niveau de réflexion épistémologique, ou se heurter à des cas où les propriétés ne marchent pas pour avoir un besoin de fondements inattaquables.

Des explications :

Celle de Stevin (1625) : .

Il s'agit en fait de comparer les aires des rectangles en les prenant globalement, puis en ajoutant les différentes petites parties, et d'arriver en quelque sorte en développant (a - b) (c - d) où a, b, c, d sont des réels positifs à la nécessité d'écrire que( - b) x (- d) = bd.

Celles de Mac Laurin, (1748) en avance sur son temps car formelle :

On pourrait de là déduire la règle des signes telle qu'on a coutume de l'énoncer, qui est que les signes semblables dans les termes du multiplicateur et du multiplicande donnent + au produit, et les signes différents donnent -. Nous avons évité cette manière de présenter la règle, pour épargner aux commençants l'expression révoltante - par - donne +, qui est cependant une conséquence nécessaire de la règle. : on peut, comme nous avons fait, la déguiser , mais non la contredire ou l'anéantir ; le lecteur, sans s'en apercevoir, en a observé tout le sens dans les exemples précédents ; familiarisé avec la chose, pourrait-il encore s'effaroucher des mots ? S'il lui reste là-dessus quelque scrupule, qu'il fasse attention à la démonstration suivante qui attaque directement la difficulté.

+ a - a = 0, ainsi par quelque quantité qu'on multiplie + a - a, le produit doit être 0 : si je le multiplie par n, j'aurai pour le premier terme + na, donc j'aurai pour le second - na, puisqu'il faut que les deux termes se détruisent. Donc les signes différents donnent - au produit? Si je multiplie + a - a par - n, par le cas précédent, j'aurai - na pour le premier terme; donc j'aurai + na pour le second, puisqu'il faut toujours que les deux termes se détruisent : donc - multiplié par - donne + au produit.

Celle de Euler, (1770) , très naïve et peu convaincante.

Il nous reste à résoudre encore ce cas où - est multiplié par - ou, par exemple - a par - b. Il est évident d'abord que quant aux lettres, le produit sera ab ; mais il est incertain encore si c'est le signe + ou bien le signe - qu'il faut mettre devant ce produit ; tout ce qu'on sait, c'est que ce sera l'un ou l'autre de ces signes. Or je dis que ce ne peut être le signe - ; car - a par + b donne - ab et - a par - b ne peut produire le même résultat que - a par + b ; mais il doit en résulter l'opposé, c'est à dire + ab ; par conséquent nous avons cette règle : + multiplié par + fait +, de même que - multiplié par -.

Nous comprenons bien qu'il s'agit jusqu'ici réellement de la règle des signes, puisqu'il n'y a en fait que des quantités négatives, désignées par un nombre positif, et précédé du signe -. Il ne s'agit pas vraiment du produit de deux nombres négatifs.

L'explication de Cauchy (1821) accentue cette considération définissant une règle opérant sur les symboles + et -, donc pas sur les nombres négatifs.

D'après ces conventions, si l'on représente par A soit un nombre, soit une quantité quelconque, et que l'on fasse : a = + A,   b = - A

On aura : +a = + A , + b = - A - a = - A , - b = + A

Si dans les quatre dernières équations l'on remet pour a et b leurs valeurs entre parenthèses, on obtiendra les formules

+ (+ A) = + A ; + (- A) = - A ; - (+ A) = - A ; - ( - A) = + A

Dans chacune de ces formules le signe du second membre est ce qu'on appelle le produit des deux signes de premier. Multiplier deux signes l'un par l'autre c'est former leur produit. L'inspection seule des équations suffit pour établir la règle des signes.

Il y a une sorte de confusion entre le signe - qui signifie l'opposé ; et Cauchy s'appuie en fait sur le fait que l'opposé de l'opposé est le nombre lui-même ; il n'y apas ici de considération sur le produit de nombres négatifs.

Hankel (1867) aborde le problème dans une toute autre perspective, purement formelle.

Les règles de l'addition et de la multiplication doivent être les mêmes pour tous les réels positifs ou négatifs. Dans cette perspective les négatifs ont le statut de nombre, à part entière, et il distingue de façon nette ne signe - de l'opposé et le signe - de la soustraction. Ce qui est important c'est de pouvoir multiplier des opposés.

Son explication peut se résumer de la façon suivante :

0 = a x 0 = a x (b + opp b) = ab + a x (opp b)

0 = 0 x (opp b) = (a + oppa) x (oppb) = a x (oppb) + (oppa x oppb)

donc (oppa) x (oppb) = ab.

D’autres propositions ont été faites au début du XIX° siècle par Wessel, Argand ..., donnant une interprétation géométrique des nombres complexes, incluant les négatifs. Tous ces mathématiciens étaient très peu connus, et leurs propositions ne seront prises au sérieux que lorsque les « grands », comme Gauss ou Cauchy, les reprendront à leur propre compte.

En fait, le bouleversement apporté par Hankel s’inscrit dans la rupture idéologique de la pensée mathématique de la fin du XIX° siècle à propos des relations entre les mathématiques et la réalité physique. Jusque là, si l’on inventait de nouveaux « nombres » qui choquaient les idées reçues, ils étaient automatiquement qualifiés de incompréhensibles, inconcevables, absurdes, sourds, irrationnels, faux, imaginaires ...

Hankel rejette cette idéologie. Il accepte que (-3)² > (2)², car ce résultat est cohérent avec la déduction formelle, et il ne se soucie pas de ce que cela peut avoir de choquant pour les idées reçues. Il n’y a pas de bon modèle pour les négatifs, et Hankel refuse cette quête.

Le pas très important qu’il est possible de franchir à l’époque de Hankel, et qui ne l’était sans doute pas à l’époque de Mac Laurin, est de pouvoir considérer les nombres non pas liés à une réalité physique, mais comme des êtres mathématiques qui ont certaines relations entre eux.

Le nombre n'est plus aujourd'hui une chose, une substance qui existerait en toute indépendance en dehors du sujet pensant ou des objets qui en sont l'occasion ; ce n'est plus un principe indépendant comme l'ont cru les pythagoriciens. La question de l'existence des nombres nous renvoie soit au sujet pensant, soit aux objets pensés dont les nombres présentent des relations. Le mathématicien tient pour impossible au sens strict cela seul qui est logiquement impossible, c'est à dire qui implique une contradiction. Il n'est pas besoin de démontrer qu'on peut admettre des nombres impossibles en ce sens. Mais si les nombres considérés sont logiquement possibles, si leur concept est défini clairement et distinctement, s'il est donc libre de toute contradiction, la question ne peut plus être de savoir s'il y a dans le domaine du réel, dans ce qui est intuitif ou actuellement donné, un substrat pour ce nombre, s'il existe des objets qui puissent donner matière aux nombres en tant qu'ils sont relations intellectuelles d'un certain type.

Théorie du système des nombres complexes, Hankel, 1867.

Hamilton, en 1835, dans son ouvrage : Theory of conjugate functions ; on algebra as the science of Pure Time, soulignera cette difficulté que pour comprendre les nombres et particulièrement une propriété comme la règle sur le signe d'un produit, il faut rester dans le domaine purement formel, et se soustraire à toute référence du monde physique. Au contraire, insiste-t-il, dans le domaine de la géométrie, c'est cette référence au monde physique qui permet d'admettre, sans discussion, par exemple le cinquième postulat d'Euclide sur les parallèles.:

Le postulat des parallèles est admis par tous sans discussion, parce qu’il peut se « vérifier » physiquement tous les jours ; la règle des signes, au contraire heurte le bon sens, donc demande un justification solide.

Remarquons que Hamilton, l’inventeur des quaternions, construisait, à l’époque où il écrivait ce qui précède, une théorie des couples qui permettait une sorte de justification algébrique de tous les « nombres » et qu’il serait conduit à abandonner, pour les quaternions justement, une propriété qui semblait liée à la notion même de nombre, à savoir la commutativité du produit. Soulignons aussi qu’à cette même époque, se mettaient en place des géométries non euclidiennes battant en brèche le postulat des parallèles.

Notons enfin que Hankel est de ceux qui travailleront sur les idées de Grassmann, qui contribua largement à la construction des vecteurs et espaces vectoriels, sur un mode assez différent de Hamilton.

Ces nouvelles considérations sur les nombres firent leur chemin très lentement, et au début du XX° siècle persiste toujours une méfiance et une certaine difficulté à expliquer les nombres négatifs, dans les manuels scolaires en particulier.

Conclusion en forme de réflexion pédagogique :

Actuellement il n’est pas si facile d’enseigner les nombres négatifs. Le modèle concret, sous la forme « gain-dette » par exemple est une aide pédagogique, d’une certaine façon, mais il n’est pas toujours possible, même il peut devenir un obstacle.

Cette histoire montre à loisir qu’il est possible d’acquérir une certaine facilité, voire une virtuosité opératoire, formellement, sans avoir de compréhension de ce qu’on manipule. Lorsque les interrogations viennent, l’obstacle alors se créé. Retenons les réflexions de Carnot, qui posait des problèmes fondamentaux : il n’est pas possible que , sauf si l’on abandonne quelques règles établies ; alors, les « négatifs » ne sont pas des « nombres » comme les positifs.

Il faut peut-être aussi se convaincre que les mathématiques servent à résoudre des problèmes théoriques ou abstraits, et non des problèmes concrets. La difficulté réside dans les relations entre la réalité physique et sa modélisation mathématique

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