No
se debe ver la historia de las matemáticas como una marcha triunfal
a lo largo de una avenida sin obstáculos. Al contrario, esta historia
presenta numerosas interrupciones, y el camino seguido raramente
se parece a una línea recta, encontrándose incluso a veces en
un callejón sin salida....Hubo avances bruscos debidos a nuevos
conceptos, que respondieron a problemas a veces muy alejados de
las cuestiones iniciales que los habían generado.
Los
logaritmos son un ejemplo de este desarrollo caótico y fecundo
a la vez. Partiendo de una idea simple, pero cuya puesta en práctica
necesitaba un gran trabajo (la construcción de las tablas), han
sido en primer lugar el motor de un desarrollo de las matemáticas
aplicadas, antes de revelarse como la solución de un problema
geométrico. Objeto de estudios teóricos seguidos de profundizaciones,
han sido también una herramienta indispensable para la modelización
de múltiples fenómenos físicos.
La
presentación pedagógica tradicional de los logaritmos privilegia
el logaritmo llamado "neperiano". Se lo introduce como
la función primitiva de la función inversa que se anula para el
valor 1 de la variable. Aunque esta introducción sea matemáticamente
satisfactoria se halla muy lejos de ser evidente para los estudiantes
y su propiedad fundamental queda oculta. Por supuesto, el problema
histórico que llevó a concebir los logaritmos también está ausente,
mientras que su uso para presentar esta nueva noción tiene la
ventaja de la simplicidad: se trata sencillamente de construir
una tabla que permita realizar rápidamente multiplicaciones, divisiones
y potencias.
Hoy
la utilización de los logaritmos para el cálculo está en desuso,
pero el concepto sigue siendo fundamental en la cultura matemática
básica y están presentes tanto en física como en química. Su historia
es sin duda un capítulo modesto, pero su ejemplaridad, incluso
su riqueza dan testimonio del desarrollo de las Matemáticas.
PROBLEMÁTICA:
El
origen del concepto de logaritmo se encuentra en un problema matemático,
sin duda, pero en un problema de matemáticas aplicadas: se trata
de simplificar la pesada tarea de los calculadores, excesivamente
complicada en cuanto implica multiplicaciones, divisiones, incluso
potencias o extracción de raíces.
En
los siglos XIV, XV y XVI (y seguramente antes) los campos implicados
no son tanto las cuestiones económicas como los problemas de agrimensura,
y sobre todo, la astronomía, en particular en sus aplicaciones
a la navegación. Estas operaciones exigen ahora cierta precisión
. Si los progresos de la numeración han podido hacer avanzar las
cosas, como la utilización de las cifras llamadas árabes, los
algoritmos de multiplicación y de división son desconocidos; los
números racionales, sistemáticamente escritos en forma de parte
entera más una fracción de la unidad, convierten incluso a la
suma en una operación muy complicada.
Se
debe al matemático árabe IBN JOUNIS el haber propuesto, en el
siglo XI, un método, llamado prostaféresis , para reemplazar la
multiplicación de dos senos por una suma de las mismas funciones,
y este método permanecerá mucho tiempo en vigor. La multiplicación
de senos (y su división) es una operación esencial, ya que todo
cálculo en geometría, en particular la resolución de triángulos,
es una operación sobre longitudes no medibles, obtenidas a partir
de la medida de ángulos.
A
ARQUÍMEDES se debe la idea fundamental que generaría los logaritmos:
"Cuando
varios números están en proporción continua a partir de la unidad,
y algunos de estos números se multiplican entre si, el producto
estará en la misma progresión, alejado del más grande de los números
multiplicados tantos números como el más pequeño de los números
multiplicados lo está de la unidad en la progresión, y alejado
de la unidad la suma menos uno de los números de lugares que los
números multiplicados están alejados de la unidad"
(Arenario,
trad. VERECKE)
Sea:
con 
o
sea: 
La
idea de ARQUÍMEDES vuelve a aparecer en los trabajos de CHUQUET
y de STIFEL, en el siglo XV, pero, ni uno ni otro han tenido suficiente
influencia para imponer la comparación de una progresión geométrica
con una progresión aritmética como medio de cálculo, o como nuevo
campo de investigación matemática.
NAPIER Y BRIGGS
John
NAPIER (escrito también NEPER) nació en 1550. Procedente de la
baja nobleza escocesa, mostró toda su vida un espíritu curioso
y dinámico, a pesar de una vida alejada de los centros culturales
de la época. La introducción de los logaritmos no es su único
título de gloria, puesto que escribió también un texto sobre las
ecuaciones e imaginó además un sistema de cálculo por medio de
regletas graduadas (Rabdología)
En
1614 publicó el "Mirifici logarithmorun canonis descriptio..."
donde, utilizando una aproximación cinemática, pone en relación
una progresión geométrica con una progresión aritmética. La primera
es la de las distancias recorridas con velocidades proporcionales
a ellas mismas, la segunda, la de las distancias recorridas con
velocidad constante; éstas son entonces los "logaritmos"
de las primeras ( el neologismo es de NAPIER). La unidad elegida
es 107, y la obra comprende una tabla de logaritmos
de senos, cuya importancia hemos mencionado anteriormente, con
los ángulos variando de minuto en minuto. En 1619 apareció una
segunda obra, "Mirifici logarithmorum canonis constructio...."
donde el autor explica cómo calcular los logaritmos. Esta obra
es póstuma, puesto que NAPIER murió en 1617.
Mientras
tanto, un eminente matemático de Londres, Henry BRIGGS, había
descubierto la importancia de estos trabajos y viajó a Escocia
para encontrarse con el autor. Retomando la idea fundamental,
pero considerando una progresión geométrica simple, la de las
potencias de 10, publica en 1617 una primera tabla, con 8 decimales.
El logaritmo de un número x es por lo tanto definido como el exponente
n de 10, tal que x sea igual a 10 elevado a n.
Siguieron
otras tablas que permitieron la difusión del método, en particular
en el continente. En realidad, la idea estaba en el aire; un colaborador
de KEPLER, el suizo BÜRGI, proponía en la misma época, para simplificar
los cálculos que debía realizar, hacer corresponder una progresión
aritmética (números rojos) y una progresión geométrica (números
negros); sin embargo sus trabajos no fueron publicados hasta 1620.
PRIMERAS UTILIZACIONES
Es
en Alemania donde se van a desarrollar los logaritmos. Al principio
de 1617, KEPLER, que se hallaba fortuitamente en Viena, tiene
la ocasión de consultar la primera obra de NEPER. Hojeándola rápidamente,
comete un error de interpretación. El año siguiente hará partícipe
de ello a un amigo en una carta:
"
Un barón escocés del que no recuerdo su nombre, propone un brillante
trabajo en el que reemplaza la necesidad de la multiplicación
y de la división, por la simplicidad de la suma y de la sustracción,
sin emplear los senos: en cambio, necesita la regla de las tangentes;
y la cantidad, la amplitud y la pesadez de la adición y de la
sustracción sustituyen la dificultad de la multiplicación
y la división"
Ahora
bien KEPLER utiliza evidentemente la regla de los senos, tanto
en un triángulo plano como esférico; para él, el trabajo de NEPER
no tiene interés. En el transcurso de 1618, dispone, sin embargo,
de la obra de Benjamín URSINUS: "Trigonometría Logarithmica
John Neperi"; reconoce entonces su error y se muestra
entusiasta de este nuevo cálculo. En 1619, por fin, el libro "Mirifici
Logarithmorum descriptio" llega a Linz, a KEPLER, el
cual emprende rápidamente la tarea de modificar el concepto para
adaptarlo a sus necesidades. Su adhesión es tal que dedica sus
efemérides de 1620 ( aparecidas al final de 1619) al "célebre
y noble señor JOHN NEPER, barón de MERCHISTON"
La
difusión en el continente de esta nueva noción se debe sobre todo
a las tablas publicadas por el flamenco Adrien ULACQ, en 1628,
retomando las tablas de BRIGGS. El objetivo era realizar un tratado
de cálculo práctico, en particular para uso de los agrimensores.
Las primeras tablas fueron seguidas por otras, cada vez más precisas,
y en ellas se menciona que su principal aplicación son los cálculos
trigonométricos.
El
método para la construcción de las tablas pasa primero, evidentemente,
por la determinación de los logaritmos de los números primos;
los demás se calculan entonces por simple suma. Se trata de hecho
de tomar "o bien medias proporcionales o bien raíces cuadradas".
EULER escribirá en 1748:
"Así
tomando medias proporcionales, se llega a encontrar Z=5,000000,
a lo que responde el logaritmo buscado 0,698970, suponiendo la
base logarítmica = 10. En consecuencia 1069897/100000
= 5 aproximadamente. Es de esta manera como BRIGGS y ULACQ han
calculado la tabla ordinaria de logaritmos, aunque se haya encontrado
después métodos más expeditivos."
EL ÁREA BAJO LA HIPÉRBOLA
La
etapa esencial del desarrollo matemático del concepto se encuentra
en su relación con la hipérbola. Esta relación se debe al jesuita
GREGOIRE DE SAINT-VINCENT, nacido en Brujas en 1584. Había acabado
la redacción de un "Opus geometricorum...." en
1630, en el cual pretendía haber resuelto los problemas de la
cuadratura del círculo y de la hipérbola. Esta obra no fue publicada
hasta 1647, y aunque fue un fracaso en cuanto a la cuadratura
del círculo, puso en evidencia que las áreas bajo la hipérbola
se parecen a los logaritmos.
El
trabajo de este autor no se sitúa en una perspectiva ligada específicamente
a los logaritmos, sino más bien en un intento de resolución de
problemas generales de cuadraturas, muy de moda en esta época
y en un estilo completamente tradicional; el aspecto innovador
reside en la utilización de cierto paso al infinito para justificar
la primera parte de su demostración. Estamos sin embargo antes
de la era de LEIBNIZ y de NEWTON.
La
relación del cálculo del área bajo la hipérbola con los logaritmos
no es pues de GREGOIRE DE SAINT - VINCENT; su obra, en principio
desconocida, ha sido objeto de críticas, fundadas por otra parte
en lo que concierne a la cuadratura del círculo. Será uno de sus
defensores, el jesuita SARASSA quien mencionará que " las
áreas hiperbólicas pueden tener relación con los logaritmos"
El
cálculo de GREGOIRE DE SAINT - VINCENT se apoya sobre el hecho
de que cuando las abscisas están en progresión geométrica, las
áreas están en progresión aritmética. Tomemos la hipérbola más
simple, de ecuación x.y=1, referida a un sistema de referencia
ortonormal. A, B, C, .....serán puntos del eje de abscisas (eje
de las "x") en progresión geométrica; D, E, G, .....serán
entonces los puntos de la hipérbola correspondientes a estas abscisas.
GREGOIRE DE SAINT - VINCENT muestra en primer lugar que las áreas
entre la curva y DE por una parte, y entre EG y la curva, por
otra, son iguales; al tener los trapecios ADEB y BEGC la misma
superficie, las áreas bajo la hipérbola son iguales.
Se
encontrará algunos años más tarde, en ciertos manuales de geometría,
tal como el de PARDIES (1671), el enunciado del resultado encontrado
por DE SAINT - VINCENT, lo que distaba de ser el caso general,
¡ y PARDIES era también un jesuita!
ESTATUS MATEMÁTICO
Si
el aspecto analítico del logaritmo, en otros términos, el estatus
de función, había sido ya considerado por KEPLER, corresponde
a TORRICELLI, seguido por HUYGENS, estudiar la curva logarítmica,
y a WALLIS, después de un primer trabajo de MERCATOR, proponer
un desarrollo en serie (1667). Esta técnica es nueva y es sin
duda uno de los raros atractivos de la obra de MERCATOR; en efecto,
este autor no parece haber sabido desarrollar la idea inicial,
a saber, la integración de la serie:
En
| Log
(1+x) |
 |
Este
nuevo aspecto permite entonces un cálculo más fácil de los logaritmos
de los números y se encontrará en lo sucesivo en los manuales
del siglo XVIII.
En
lo que concierne a la curva de la función logarítmica, llamada
"curva logarítmica", TORRICELLI propone la gráfica desde
1646, en algunas cartas a sus corresponsales, pero su muerte en
1647 retrasa la difusión. Será a HUYGENS a quien corresponderá
exponer sus propiedades en el "Discurso sobre la causa de
la gravedad", aparecido en 1690. HUYGENS estaba interesado
desde 1651 por los logaritmos y por su cálculo, en particular
en el marco de la cuadratura de la hipérbola; había retomado el
problema mucho más tarde (1666) cuando participaba en los trabajos
de la nueva Academia Real de Ciencias de París, y había utilizado
la noción en cuestiones de probabilidad y de combinatoria.
Los
logaritmos en esa época forman parte realmente del corpus matemático;
no se trata de un simple método de cálculo, sino de un dominio
completo. Se hallan en numerosas obras sin que su estatus teórico
suponga ningún problema.
LA HERRAMIENTA LOGARÍTMICA
Los
logaritmos en cuanto herramienta serán de gran ayuda para el nacimiento
de la física matemática a finales del siglo XXVII. Así ocurre
con el "Discurso sobre la causa de la gravedad" de HUYGENS,
y también con los diferentes trabajos sobre la presión atmosférica,
en particular los de MARIOTTE.
Es
preciso ver la utilización de los logaritmos siguiendo cuatro
directrices:
-
la primera es la que los genera, a saber, el cálculo de fórmulas
geométricas, utilizadas en astronomía y aplicacadas en navegación,
y también, de modo más simple, en agrimensura. Se publicarán muchas
tablas con formato de bolsillo para su utilización sobre el terreno
o a bordo de los navíos. Estas tablas irán precedidas de un manual
de uso, e incluirán también una tabla de logaritmos de senos.
-
la segunda, más simple aún, es la de la aplicación a todo cálculo
multiplicativo. Condujo a la construcción de "reglas de cálculo",
al empleo por todo estudiante de bachillerato de una tabla para
cualquier operación en ciencias físico - químicas y a la elaboración
de algoritmos para las máquinas de calcular contemporáneas.
-
la tercera consiste en conjeturar a partir de experiencias con
modelos donde los logaritmos entraron en juego por comparación
de valores. Poner de manifiesto una relación entre medidas en
progresión aritmética con otra serie en progresión geométrica
conducirá a considerar el primer fenómeno como un logaritmo del
segundo. Las escalas logarítmicas son hoy día moneda corriente....
-
la última es totalmente teórica; la introducción por LEIBNIZ y
NEWTON del cálculo diferencial e integral permitirá numerosos
razonamientos analíticos, concernientes a fenómenos físicos o
químicos, pudiendo conducir por simple integración de los inversos
a los resultados logarítmicos.
Los
logaritmos utilizados en los tres primeros casos serán los de
BRIGGS, es decir los logaritmos decimales; por el contrario, la
integración introduce los logaritmos "naturales", llamados
"neperianos" en honor al padre fundador.
EXPLORACIÓN MATEMÁTICA
En
el campo de las matemáticas puras, los logaritmos introducen nuevas
magnitudes trascendentes. Contribuyen por consiguiente a ampliar
el campo de comprehensión de los números; sin embargo, no se puede
hablar de función, de función logarítmica en el sentido moderno,
antes de que intervenga EULER en la segunda mitad del siglo XVIII.
Esto no impide a LEIBNIZ y a NEWTON utilizar las relaciones: (escritas
con notación moderna)
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